Gegenseitige Lage von Geraden
Schnittpunkte von Geraden
Schnittpunkte von Geraden sind prinzipiell besondere Punkte, die auf beiden Geraden liegen.
Normalerweise besitzen zwei Geraden (wenn überhaupt) nur einen gemeinsamen Punkt, den man dann als Schnittpunkt bezeichnet. Man sagt auch: Die Geraden schneiden sich.
In Ausnahmefällen liegen zwei Geraden aufeinander. Dann besitzen sie unendlich viele gemeinsame Punkte. Man bezeichnet solche Geraden als identisch.
Schnittpunkte berechnen
Schnittpunkte sind gemeinsame Punkte von Geraden. Man kann sie bestimmen, indem man die Geradengleichungen gleich setzt. Dies funktioniert auch mit Geradengleichung in Parameterform. Man erhält eine Vektorgleichung.
Beispiel:
Schnittgleichung (vektoriell): 
Die Lösung dieser Gleichung führt über ein Lineares Gleichungssystem (LGS)
Es handelt sich hier um ein überbestimmtes Gleichungssystem. Es gibt 3 Gleichungen aber nur 2 Unbekannte.
Das LGS löst man mit dem Gauß-Verfahren
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Für k=2 und q=0 liefert das LGS eine wahre Aussage (die letzte Zeile 0=0 ist immer wahr). Den Schnittpunkt kann man berechnen, indem man k=2 in die Geradengleichung von f einsetzt. Man kann auch q=0 in die Geradengleichung von g einsetzen (was in diesem Fall einfacher ist). Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten: Schnittpunkt: S(7|6|3) |
Schnittpunkt zweier Geraden |
Identische Geraden
Wie schon erwähnt haben identische Geraden unendlich viele Schnittpunkte. Trotzdem sind die Geradengleichungen in Parameterform scheinbar unterschiedlich.
Beispiel:
Schnittgleichung (vektoriell): 
Gauß-Verfahren:
Das LGS hat unendlich viele Lösungen, da für jedes q ein k gefunden werden kann so, dass das LGS eine wahre Aussage ergibt.
Keine Schnittpunkte
Die Geraden müssen sich nicht schneiden.
Beispiel:
Schnittgleichung (vektoriell): 
Gauß-Verfahren:
Die letzte Zeile des LGS liefert die Gleichung 0=1. Da dies aber niemals eine wahre Aussage sein kann, ist das LGS nicht lösbar.
Dies bedeutet, dass die Geraden keine gemeinsamen Punkte haben.
Windschiefe Geraden
Geraden, die keinen Schnittpunkt haben, können einfach nur aneinander vorbeilaufen. Man bezeichnet diese Geraden als windschief.
Windschiefe Geraden haben keine Schnittpunkte. Die Richtungsvektoren dieser Geraden dürfen keine Vielfache voneinander sein, sie sind linear unabhängig.
Die Geraden aus obigem Beispiel sind windschief, denn für die Richtungsvektoren gilt:
Windschiefe Geraden
Parallele Geraden
Geraden, die keinen Schnittpunkt haben, können auch parallel sein.
Man erkennt dies daran, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind (also Vielfache voneinander).
Schnittgleichung:
LGS:
Gauß-Verfahren:
Prüfung der Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit:
Die Richtungsvektoren sind linear abhängig.
Die Geraden sind parallel.
Parallele Geraden