Mathematische Grundlagen

Zahlen

Die Anforderungen, die sich aus dem Begriff Zahl ergeben, sind in der Technik andersartig wie in der Mathematik.

Der Zahlenbegriff in der Mathematik

In der Mathematik sind Zahlen abstrakte Objekte. Sie beschreiben Mengen, für die bestimmte mathematische Regeln gelten. Eine mathematisch exakte Definition der Zahl gibt es nicht.

Der Zahlenbegriff in der Technik

Zahlen sind aus dem Alltag nicht mehr wegzudenken. Technische Systeme ohne Zahlen zu beschreiben ist praktisch nicht möglich. In der Technik und im Alltag beschreiben Zahlen greifbare, messbare Größen. Mathematische Regeln, die für die Zahlen gelten, sind notwendig und nützlich bei der Vorhersage und bei der Beschreibung unterschiedlichster Vorgänge und Systeme, die uns in unserem Alltag oder in der Natur begegnen.

Zahlensysteme

Für die Beschreibung eines Vorgangs oder eines Systems in unserem Alltag, benötigt man ein dazu passendes Zahlensystem. Benutzt man zur Berechnung ein bestimmte Technologie, ist es sinnvoll das verwendete Zahlensystem auch daran anzupassen.

Stellenwertsysteme

Letztendlich geht es darum, mit einem beschränkten Vorrat an unterschiedlichen Symbolen (Ziffern) jede beliebige, denkbare Zahl darstellen zu können. Durchgesetzt haben sich die Stellenwertsysteme (auch Positionssysteme oder polyadischen Zahlensysteme), allen voran das Zehnersystem (oder Dezimalsystem).

Wahl der Basis

Prinzipiell eignet sich jede natürliche Zahl b≥2 als Basis für ein Stellenwertsystem. Die Zahl b steht gleichzeitig für die Anzahl an unterschiedlichen Ziffern (Ziffernvorrat), die dem System zugrunde liegen.

Bei der Wahl der Basis ist es sinnvoll, grundlegende Eigenschaften des Systems, mit dem man die Berechnungen durchführt zu berücksichtigen.

Der Mensch hat 10 Finger, woraus sich als logische Konsequenz die Verwendung des Dezimalsystems mit der Basis b=10 ergibt.

Computer arbeiten intern mit zwei unterschiedlichen Zuständen. Daraus resultiert also die Verwendung des Dualsystems (oder Binärsystems) mit der Basis b=2.

Das Dezimalsystem

Das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem mit der Basis b=10. Die Stellen ergeben sich durch die Potenzen der Basis.

Beispiel: Darstellung der Zahl 314,16₍₁₀₎ im Dezimalsystem

314,16₍₁₀₎=3⋅10²+1⋅10¹+4⋅10⁰+1⋅10^-1+6⋅10^-2

Ganze Zahlen werden durch positive Exponenten der Basis dargestellt.
Teile ganzer Zahlen werden durch negative Exponenten der Basis dargestellt.
Ganze Zahlen werden durch ein Komma von Teilen ganzer Zahlen getrennt.

Das Dualsystem

Das Dualsystem ist ein Stellenwertsystem mit der Basis b=2. Der Ziffernvorrat beschränkt sich auf die Ziffern 0 und 1.

Beispiel: Darstellung der Zahl 101,01₍₂₎ im Dualsystem

101,01₍₂₎=1⋅2²+0⋅2¹+1⋅2⁰+0⋅2^-1+1⋅2^-2

Umrechnung ins Dezimalsystem:

101,01₍₂₎=4+1+¹/₄=5,25₍₁₀₎

Die Umrechnung vom Dualsystem ins Dezimalsystem ergibt sich aus obigem Beispiel.

Zählen

Eng verwandt mit dem Begriff Zahl ist der Begriff des Zählens. Mit Hilfe des Zählens lassen sich die Anzahl der Elemente einer Menge ermitteln und vergleichen. Jedes Kind lernt schon früh, die Finger als Hilfsmittel zum Zählen zu verwenden. So ist Zählen ein geeignetes Mittel, mit dem man unterschiedliche Mengen vergleichen kann. So sind etwa 4 Äpfel mehr als 3 Birnen (auch wenn man Äpfel nicht mit Birnen vergleichen sollte...).

Das Zählen wurde dem Menschen sozusagen in die Wiege gelegt. Wenn es darum geht, zu vergleichen, ob Einer mehr hat als der Andere, kommt das Zählen ins Spiel. Schon vor über 50000 Jahren gab es Zählverfahren, um beispielsweise Besitz und Schulden zu erfassen.

Aus dem Zählen entwickelte sich der Zahlenbegriff und die Mathematik, die sich im Laufe der Jahrtausende immer weiter verfeinert haben.

Auch die Menge der Natürlichen Zahlen basiert auf dem Begriff des Zählens. Die Natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die beim Zählen verwendet werden.

Die Addition

Auch die Addition ist eng mit dem Begriff des Zählens verbunden. Dies belegt auch die umgangssprachliche Bezeichnung der Addition als "zusammenzählen".

Auch bei der Addition erweisen sich die Finger beider Hände für den Anfang als ideales Hilfsmittel. Jedoch ergibt sich das Problem des Übertrags, wenn man beispielsweise die Summe aus 7 und 8 berechnen soll und die 10 Finger beider Hände nicht mehr ausreichen. Dies dürfte auch eines der ersten mathematischen Probleme sein, mit dem man schon als Kleinkind beim Umgang mit Zahlen konfrontiert wird.

Die Addition ist die mathematische Grundoperation, mit der sich alle anderen Rechenoperationen wie Multiplikation, Division und Subtraktion durchführen lassen. Ist ein Computer also in der Lage, zwei Zahlen zu addieren, kann man alle anderen Rechenoperationen mit Hilfe der eingebauten Addition programmieren. Jeder Computer besitzt also mindestens ein Addierwerk.