Vektoren
Eigenschaften von Vektoren
Um sinnvoll mit Vektoren arbeiten zu können, müssen diese Eigenschaften besitzen, die nicht im Widerspruch zu den Systemen stehen, die sie beschreiben sollen.
Letztendlich läuft es darauf hinaus, dass die Eigenschaften von Vektoren dem "gesunden Menschenverstand" entsprechen müssen.
Drei gleiche Vektoren
Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren sind gleich, wenn die Beträge (Längen) und Richtungen der beiden Vektoren übereinstimmen.
Achtung! Parallele Vektoren mit gleichem Betrag und gleicher Richtung gelten als gleich.
Addition von Vektoren
Addition von Vektoren
Die Addition, zweier oder mehrerer Vektoren entspricht geometrisch dem Aneinanderhängen dieser Vektoren.
Dieser Sachverhalt ist rechts abgebildet. Der Vektor d ergibt sich aus der Addition der drei Vektoren a, b und c.
Vektorgleichung: 
Dieser Sachverhalt ist auch aus der Physik bekannt. Greifen an einem Punkt mehrere Kräfte in unterschiedlichen Richtungen an, so entspricht die resultierende Kraft der vektoriellen Addition der Einzelkräfte.
Kräfteaddition: 
Die Addition von Vektoren ist kommutativ. 
Multiplikation mit einem Skalar
Multiplikation mit einem Skalar
Man kann Vektoren mit einem Skalar (Zahl) multiplizieren. Dadurch entsteht ein neuer Vektor, der parallel zum ursprünglichen Vektor ist, jedoch einen anderen Betrag (Länge) besitzt (solange man nicht mit 1 multipliziert).
Ist die Zahl mit der man multipliziert negativ, wird die Richtung des Vektors umgedreht. Geometrisch gesehen vertauscht man dadurch den Beginn mit dem Ende des Vektors.
Die Multiplikation mit einem Skalar entspricht geometrisch der Verlängerung bzw. Verkürzung eines Vektors.
Besondere Vektoren
Einheitsvektor
Vektoren mit dem Betrag 1 heißen Einheitsvektoren.
Einheitsvektor
Der Vektor mit dem Betrag 0 heißt Nullvektor.
Inverser Vektor
Multipliziert man einen Vektor mit -1, so erhält man den Gegenvektor oder auch inversen Vektor.
Subtraktion von Vektoren
Die Subtraktion eines Vektors entspricht der Addition des Gegenvektors.
Die Subtraktion ist nicht kommutativ!
Vektorgleichungen
Ähnlich wie mit Skalaren, kann man auch mit Vektoren Gleichungen bilden.
Beispiel:
Wichtig dabei ist, dass alle Vektoren der Gleichung Elemente des selben Vektorraums V sein müssen.
Man kann also keinen 2-dimensionalen Vektor mit einem 3-dimensionalen Vektor vergleichen.