EbenenEbenen im dreidimensionalen RaumEine Ebene im dreidimensionalen Raum ist eine unendlich ausgedehnte, ebene Fläche, deren Lage im Raum eindeutig festgelegt ist. Zwei Geraden, die sich schneiden, spannen eine Ebene im Raum auf. Beispiel:
Ebenengleichungen in ParameterformBei der Definition einer Ebene, geht es im Prinzip darum, die Lage der Punkte, die in der Ebene liegen zu definieren. Da zwei Geraden eine Ebene aufspannen, liegt es nahe, eine Geradengleichung als Basis für die Definition einer Ebene zu nehmen. Beispiel:
Diese Geradengleichung legt die Lage aller Punkte fest, die auf der Geraden g liegen. Ergänzt man nun die Geradengleichung durch den Richtungsvektor von h, multipliziert mit einem Parameter, so erhält man eine Gleichung, die alle Punkte auf der Ebene definiert. Ebenengleichung in Parameterform:
Die Ebenengleichung unterscheidet sich von der Geradengleichung in Parameterform lediglich durch einen zweiten Richtungsvektor. Der Stützvektor der Ebene ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der beiden Geraden, die die Ebene aufspannen. Die "Richtungsvektoren" einer Ebene werden als Spannvektoren bezeichnet. Sie sind Vielfache der Richtungsvektoren der aufspannenden Geraden. Lage einer Geraden bezogen zu einer EbeneManchmal ist es von Interesse wie eine Gerade bezüglich einer Ebene verläuft. Im dreidimensionalen Raum gibt es dafür drei Möglichkeiten:
Man erhält eine Schnittgleichung, wenn man die Parameterform einer Geraden g mit der Parameterform einer Ebene E gleichsetzt. Gerade und Ebene schneiden sichBeispiel:
Schnittgleichung bestimmen und umformen:
LGS lösen:
Schnittpunkt berechnen:
Die Gerade g schneidet die Ebene E im Punkt: S(0|0|2) Die Gerade liegt in der EbeneBeispiel:
Schnittgleichung bestimmen und umformen:
LGS lösen:
Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Das bedeutet, dass jeder Punkt auf der Geraden auch in der Ebene liegt. Ebene und Gerade sind parallelBeispiel:
Schnittgleichung bestimmen und umformen:
LGS lösen:
Das LGS hat unendlich keine Lösungen. Das bedeutet, dass kein Punkt auf der Geraden in der Ebene liegt. Gerade und Ebene müssen also parallel sein. |