Glättung von PWM-Signalen
Messtechnische Erfassung des Mittelwerts mit Hilfe eines RC-Tiefpasses
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Der Mittelwert eines PWM-Signals mit UL=0 lässt sich messtechnisch relativ einfach ermitteln, indem man das PWM-Signal mit einem passenden RC-Glied glättet.
Die Zeitkonstante τ des RC-Gliedes sollte mindestens das 10-Fache der Periodendauer T der PWM-Grundfrequenz betragen. Die gemessene Spannung UC entspricht dann ungefähr dem Mittelwert des PWM-Signals.:
Dabei ist g der Tastgrad des Signals.
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PWM-Signal mit UL=0 |
Gleichung
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Gleichung
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Das rechts abgebildete RC-Glied entspricht einem Tiefpass-Filter, da es nur tiefe Frequenzen passieren lässt. Für hohe Frequenzen wirkt es wie ein Kurzschluss. Die Schaltung wird auch als Integrator oder Integrierer bezeichnet, da der Kondensator die durch R fließende Stromstärke integriert. Das Integral kann dann als Spannung UC am Kondensator abgegriffen werden. Aber was passiert nun, wenn man diesen Integrierer mit einem periodischen PWM-Signal "füttert"? Tatsächlich stellt sich nach einiger Zeit eine nahezu konstante Spannung UC ein. Dies bedeutet, dass die Ladung, die im Kondensator gespeichert ist, im zeitlichen Mittel konstant bleibt. Die Bilanz aus zufließender Ladung und abfließender Ladung muss also ausgeglichen sein. |
RC-Tiefpass |
(i)
Die zugeflossene Ladung ergibt sich aus dem Integral des zufließenden Stromes durch den Widerstand R.
Wir nehmen nun an, dass der Kondensator bereits vorgeladen ist und die Spannung am Kondensator UC beträgt. Dadurch ergibt sich folgener Ladestrom:
(ii)
Die abgeflossene Ladung ergibt sich aus dem Integral des abfließenden Stromes durch den Widerstand R.
Wir nehmen an, dass die Spannung am Kondensator zu Beginn des Entladevorganges UC beträgt. Dadurch ergibt sich folgener Entladestrom:
(iii)
Wichtig ist nun die Wahl der Zeitkonstante τ=RC. Diese muss deutlich größer als die Periodendauer T des PWM-Signals sein. Die Lade- bzw. Entladezeit t ist kleiner als die Periodendauer T.
Wenn nun also τ≫T bzw. T≪τ ist, gilt:
(iv)
Damit fällt der Exponentialfaktor bei (ii) und (iii) weg:
Die Formeln vereinfachen sich entsprechend:
; 
Die zugeflossene Ladungsmenge ergibt sich dann aus:
(v)
Die abgeflossene Ladungsmenge ergibt sich aus:
(vi)
Nun setzen wir (v) und (vi) in die Ladungsbilanz (i) ein:
Nach einigen algebraischen Umformungen erhalten wir tatsächlich den gesuchten Zusammenhang:
Gleichung
Die Spannung, die sich am Kondensator einstellt, entspricht also dem Mittelwert des anliegenden PWM-Signals.
Wahl der Werte von R und C
Bei der Wahl der Werte von R und C müssen einige Eckpunkte bedacht werden:
- Wahl der Zeitkonstante τ
- Maximaler Ladestrom des Kondensators (maximaler Strom am Pin des ICs)
- Grundfrequenz des PWM-Signals
- Restwelligkeit von UC
- Einschwingdauer des RC-Gliedes
Dabei ist zu bedenken, dass diese Werte voneinander abhängen. Es muss also ein guter Kompromiss für R und C gefunden werden.
Wahl der Zeitkonstante
Für die Periodendauer des PWM-Signals gilt:
Gleichung
Die Zeitkonstante berechnet sich aus dem Produkt des Widerstandswerts und der Kapazität:
Gleichung
Ein guter Kompromiss für die Wahl der Zeitkonstante τ ist:
Gleichung
Zu kurze Zeitkonstanten führen zu einer großen Restwelligkeit des Messwertes UC.
Zu lange Zeitkonstanten führen zu einer langen Einschwingdauer des Messwertes. Diese Einschwingdauer beträgt mindestens 10τ. Vor allem bei PWM-Frequenzen unter 200 Hz ist dies zu beachten.
Wahl des Widerstands
Zu Beginn des Ladevorgangs des Kondensators, wenn dieser vollständig entladen ist, ist der Ladestrom maximal und muss vom Widerstand R begrenzt werden.
Gleichung
Man muss unbedingt darauf achten, den Maximalstrom des Pins am IC nicht zu überschreiten. Dieser ergibt sich aus der Summe des maximalen Ladestroms und des maximalen Laststroms. Bei einigen Mikrocontrollern sind das nur wenige mA! Andernfalls "grillt" man sich die Ausgangsstufe des Pins oder den ganzen Mikrocontroller!
Gleichung
Die Messung sollte das eigentliche PWM-Signal möglichst wenig beeinflussen.
Als guter Kompromiss für R ergibt sich ein Wert von:
Gleichung
Aus τ und R kann man sich dann C berechnen.
Die Messung muss dann möglichst hochohmig erfolgen, um den Messwert nicht zu verfälschen.